Вычисление объема тела, образованного вращением
плоской фигуры вокруг оси ОХ
Пример 1
Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями y=2x-x^2 и y=0 вокруг оси ОХ.
Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости XOY необходимо построить фигуру, ограниченную линиями y=2x-x^2 , y=0, при этом не забываем, что уравнение y=0 задаёт ось OX.
http://www.mathprofi.ru/h/obyem_tela_vrashenija_clip_image013.jpg
Как вычислить объем тела вращения?
Объем тела вращения можно вычислить по формуле:
http://www.mathprofi.ru/h/obyem_tela_vrashenija_clip_image015.gif
В формуле перед интегралом обязательно присутствует число "Пи". Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой
Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу
http://www.mathprofi.ru/h/obyem_tela_vrashenija_clip_image025.gif
Ответ: http://www.mathprofi.ru/h/obyem_tela_vrashenija_clip_image027.gifДобавлено (21.10.2012, 23:16)
---------------------------------------------
Пример 2
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями y=2x+1, y=x+4, x=0, x=1
http://www.mathprofi.ru/h/obyem_tela_vrashenija_clip_image046.jpg
Искомая фигура заштрихована синим цветом.
Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.
Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси OX получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через V1.
Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси OX, то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через V2.
И, очевидно, разность объемов V=V1-V2
Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:
http://www.mathprofi.ru/h/obyem_tela_vrashenija_clip_image015_0000.gif
1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой y=x+4, поэтому:
http://www.mathprofi.ru/h/obyem_tela_vrashenija_clip_image056.gif
2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой y=2x+1, поэтому:
http://www.mathprofi.ru/h/obyem_tela_vrashenija_clip_image058.gif
3) Объем искомого тела вращения: http://www.mathprofi.ru/h/obyem_tela_vrashenija_clip_image060.gif
Ответ: http://www.mathprofi.ru/h/obyem_tela_vrashenija_clip_image062.gif